绝对值不等式的解法,绝对值不等式的解法公式

投稿用户 • 2023年10月6日 am2:01 • 学习教育 • 阅读 103

八上：利用绝对值定义，解答绝对值不等式

数学可以让人快乐。

利用绝对值定义，解答绝对值不等式：

对于形如 $|x-a|<b$ 的不等式，解法如下：

当 $b>0$ 时，原不等式等价于 $-b<x-a<b$，即 $a-b<x<a+b$，解集为 $(a-b,a+b)$。

当 $b=0$ 时，原不等式等价于 $|x-a|=0$，即 $x=a$，解集为 $\{a\}$。

当 $b<0$ 时，原不等式无解。

对于形如 $|x-a|>b$ 的不等式，解法如下：

当 $b>0$ 时，原不等式等价于 $x-a>b$ 或 $x-a<-b$，即 $x>a+b$ 或 $x<a-b$，解集为 $(-\infty,a-b)\cup(a+b,+\infty)$。

当 $b=0$ 时，原不等式等价于 $|x-a|>0$，即 $x\neq a$，解集为 $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$。

当 $b<0$ 时，原不等式等价于 $|x-a|<-|b|$，由于绝对值的取值范围为非负数，所以原不等式无解。

湘教版八年级上期数学《一元一次不等式组》是一本教材，主要介绍了一元一次不等式组的相关知识。在这本教材中，学生将学习如何解决一元一次不等式组的问题，包括如何画出一元一次不等式组的图像，如何确定一元一次不等式组的解集等等。通过学习这些知识，学生将能够更好地理解和应用一元一次不等式组的概念，为今后的学习打下坚实的基础。

一、原题再现

二、解题思路

本题的解答方法是利用绝对值的定义来解答绝对值不等式。

首先，我们回顾一下绝对值的定义：对于任意实数 $x$，其绝对值 $|x|$ 定义为：

$$
|x|=\begin{cases}
x, & x \geq 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
$$

接下来，我们考虑如何利用这个定义来解答绝对值不等式。假设我们要解决如下的不等式：

$$
|2x – 1| \leq 3
$$

我们可以将其拆分成两个不等式：

$$
\begin{aligned}
2x – 1 &\leq 3 \\
2x – 1 &\geq -3
\end{aligned}
$$

然后，我们可以利用绝对值的定义将其转化为：

$$
\begin{aligned}
2x &\leq 4 \\
2x &\geq -2
\end{aligned}
$$

最后，我们可以将其化简为：

$$
-1 \leq x \leq 2
$$

因此，原不等式的解集为 $[-1, 2]$。

绝对值的定义：对于实数a，当a≥0时，其绝对值为a；当a<0时，其绝对值为-a。也可以理解为，一个数到0点的距离。

|b|<7，即表示一个数b到原点O的距离小于7个单位。

如图所示：

可以将不等式|a|<4转化为不等式-4<a<4，方法如下：

当a≥0时，|a|=a，所以|a|<4可以转化为a<4。

当a<0时，|a|=-a，所以|a|<4可以转化为-a<4，即a>-4。

综上所述，当a≥0时，|a|<4可以转化为a<4；当a<0时，|a|<4可以转化为a>-4。因此，不等式|a|<4可以转化为不等式-4<a<4。

三、解题思路

一、原题再现

二、解题思路

绝对值的定义是：对于任意实数x，其绝对值|x|定义为：

当x≥0时，|x|=x；

当x<0时，|x|=-x。

对于绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义来解答。例如，对于不等式|2x-1|<3，我们可以分两种情况讨论：

当2x-1≥0时，即x≥1/2时，不等式可以化简为2x-1<3，解得x<2；

当2x-1<0时，即x<1/2时，不等式可以化简为-(2x-1)<3，解得x>-1。

综合以上两种情况，得到不等式的解集为-1<x<2。

绝对值的定义：对于实数x，绝对值表示x到0的距离，即|x|=\begin{cases}
x, & \text{if } x \geq 0 \\
-x, & \text{if } x < 0
\end{cases}

例如：|b|≤10，即表示一个数b到原点O的距离小于等于10个单位。

如图所示：

可以将绝对值不等式|a|>5转化为两个不等式：a>5或a<-5。这是因为当a>5时，|a|也大于5；当a<-5时，|a|也大于5。因此，不等式a>5或a<-5可以等价地表示|a|>5。

三、解题思路

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